כאוס הוא רק סוג מסוים של התנהגות בה נעסוק במשך קורס זה. באופן כללי אנו נלמד כאן על תחום הנקרא "דינמיקה לא ליניארית", המטפל בהתנהגות בזמן של מערכות לא לינאריות.

הבה נבהיר את משמעות המושג:

מערכת לא ליניארית היא מערכת עבורה משוואות התנועה אינן לינאריות. כלומר, משתני המערכת (לדוגמה, המהירות או המיקום) מופיעים במשוואות התנועה בצורה לא ליניארית.

נזכור שמשוואות התנועה במכניקה ניתנות על ידי ΣF=md²x/dt² , ולכן הלינאריות של המערכת תלויה בליניאריות של הכוחות המשפיעים עליה.

נחזור לדוגמה המופיע בספר: קפיץ יכול להפעיל כוח שהוא פרופורציוני להתארכותו (כלומר, F=-kΔx) או יכול להתנהג באופן לא לינארי; לדוגמה, בצורה F=-kΔx³. במקרה הראשון, אם הקפיץ ימתח פי שניים, הוא יפעיל כוח פי שניים יותר גדול. במקרה השני, אם הוא ימתח פי שניים, הוא יפעיל כוח פי שמונה יותר גדול. כתוצאה מכך, במערכת כזו הבדלים קטנים בתנאים ההתחלתיים מוגדלים מהר.

זהירות! בנוסחה x=x₀+v₀t+1/2at² אנו רואים שהזמן מופיע בריבוע. אך זו אינה דוגמה של מערכת לא ליניארית. הרי נוסחה זו מתארת מערכת עם כוח קבוע. מה שצריך להיות לא ליניארי היא משוואת התנועה.

ברצוננו להבהיר כאן נקודה נוספת: כפי שהוזכר בספר, תנאי הכרחי להופעת התנהגות כאוטית במערכת מסוימת היא שהיא תהיה לא ליניארית, אך ההפך אינו נכון. כלומר, לא כל מערכת לא ליניארית היא כאוטית. דוגמה לכך היא האינטרקציה הגרביטציונית בין שני גופים. כפי שאנו יודעים, הכוח הגרביטציוני פרופורציוני ל- אך מערכת המורכבת משמש וכוכב לכת אחד היא מערכת לא כאוטית.

קישור לקובץ Word עם שאלה המותאמת לנגישות