תשובות לתרגילים מהספר

תרגיל 4.3:

מושך המיפוי הוא הנקודה x=0.6428. אגן המשיכה שלו הוא המרווח (0,1).

הגרף מציג מספר נקודות בקואורדינטות (n, xn) כאשר n עולה, הערכים של xn הופכים ל -0.6428.

תרגיל 4.5:

במקרים פרטיים אלה לא מקבלים אותה תמונה. הסיבה היא שהנקודה x=0 היא נקודת שבת לא מושכת של המיפוי, ולכן אם מתחילים ממנה נשאר בה לתמיד. גם הנקודה x=1 נמשכת אל הנקודה x=0.

תרגיל 4.6:

לא. בשיטה זו רק ניתן לאתר נקודות שבת מושכות או מסלולים מחזוריים מושכים.

אם נתחיל ליד נקודת שבת דוחה, תוך כדי איטרציות נתרחק ממנה, אפילו אם המרחק ההתחלתי מנקודת השבת היה קטן מאוד. לכן כדי לאתר נקודת שבת דוחה, צריכים להתחיל בדיוק מנקודה זו, וזה רק קורה באופן מקרי. לעומת זאת, אם קיימת נקודת שבת מושכת, מכל מקום בתוך אגן המשיכה שלה ממנו נתחיל, נגיע לנקודת שבת זו.

תרגיל 4.7:

אילו היו ארבע נקודות שבת מושכות, מכיוון שלכל ערך של a האיטרציות מתבצעות החל מערך התחלתי אחד בלבד, היינו רואים רק את אחת הנקודות האלו: זאת שהנקודה ההתחלתית שבחרנו שייכת לאגן המשיכה שלה. את יתר הנקודות לא היינו רואים.

תרגיל 4.11:

א)

התרשים מציג מספר נקודות בקואורדינטות n, xn כאשר n עולה, ערכי xn הופכים לערך ספציפי אחד.
ב)

התרשים מציג מספר נקודות בקואורדינטות n, xn כאשר n עולה, ערכי xn מתחילים לסירוגין בין שני ערכים של xn.
ג)

התרשים מציג מספר נקודות בקואורדינטות n, xn כאשר n עולה, ערכי xn מתחילים לסירוגין בין ארבעה ערכים של xn.

תרגיל 4.12:

הגרף מציג מספר נקודות בקואורדינטות n, xn כאשר n עולה, ערכי xn הם אקראיים.

תרגיל 4.13:

לא. אילו זה היה קורה, כלומר, אם היינו מקבלים ש- x_n=x₀, אז באיטרציה הבאה היינו מקבלים x_n+1=x₁, כי הרי את x_n+1 מחשבים בעזרת אותו מיפוי בו השתמשנו כדי לחשב את x₁. כלומר, אילו זה היה קורה, משמעות הדבר שלערך זה של a התנועה מחזורית, ולכן היא לא כאוטית.

תרגיל 4.14:

שלושת הגרפים נראים כמו תרשים ההתפצלויות של המשוואה הלוגיסטית. אין לצפות לקבל ערך מדויק של Δ. הרי לא חישבנו את הערך הגבולי לערכים גדולים של n, אלא קירוב ל-δ בעזרת ההתפצלויות הראשונות.

תרגיל 4.16:

המושך הוא מסלול מחזורי מסדר 5.

תרגיל 4.17:

Δx=Δx₀e^λt

Δx=15e^{t/5.10⁶שנה}

א) Δx=15e²=110m

ב) Δx=15e²⁰=6.10¹⁰m