איך ניתן לדעת ממשוואת התנועה את המשוואה מקום-זמן?

על מנת לקבל מתוך המשוואה הדיפרנציאלית (4)

\frac{\sum F}{m}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}

 

את x כפונקציה של הזמן, צריך לבצע פעמיים אינטגרציה של המשוואה. אינטגרציה היא פעולה מתמטית שהיא ה"הפך" מפעולת הגזירה. אנו לא ניכנס כאן לפרטים מתמטיים על איך עושים אינטגרציה (כשזה בכלל אפשרי). הרמה המתמטית הדרושה לכך היא מעבר לזו הדרושה בקורס זה.

במקום זה, נראה שהנוסחאות שלמדנו בתיכון מקיימות את החוק השני של ניוטון.

כלומר, במקום להראות שעל ידי אינטגרציה של משוואת התנועה ניתן לקבל את הנוסחאות המוכרות לנו, נראה שאם אנו גוזרים פעמיים את (x(t בנוסחאות המוכרות לנו מלימודי המכניקה, מקבלים את סכום הכוחות הפועלים על הגוף חלקי מסתו, כפי שטוען החוק השני של ניוטון.

הערה: הפיסקה הבאה עלולה להרתיע מעט!

היא מאוד פורמלית, עם דרגת קושי מתמטית גבוהה.

אך אל תתייאש! זה חד פעמי (ואנו מבטיחים כי הוכחה זו לא תופיע בבגרות 🙂 )

 

א) נגזור את הנוסחהx=x_{0}cos\left ( \omega t+a \right ) 

ונקבל \frac{dx}{dt}=-\omega x_{0}sin\left ( \omega t+a \right )

נגזור פעם נוספת ונקבל\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\omega ^{2}x_{0}cos\left ( \omega t+a \right )=-\omega ^{2}x

נזכור ש- k/m = ω2 , ולכן

m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-m\omega ^{2}x=-kx

כלומר, הכוח הגורם לתנועה הרמונית הוא kx-, כפי שלמדנו במכניקה!

ב) ניקח את הנוסחה המתארת תנועה בתאוצה קבועה x=x0+v0t+1/2at2 . נגזור את הנוסחה ונקבל:

dx/dt = v0+at

נגזור פעם נוספת, נכפיל ב-m ונקבל

md2x/dt2 = ma

ולכן, עבור תנועה קצובה, סכום הכוחות F∑ הוא הקבוע ma, כפי שלמדנו.

כלומר, שתי הנוסחאות שאנו מכירים באות בעצם מהנוסחה (4).

ועברנו את הפסקה!

הבה נסכם את מה שראינו עד עתה.

לעמוד הבא

לעמוד הקודם