מרחב המופע
תרגיל 3.1:
תרגיל 3.2:
נקודת הראשית מייצגת את מצב שיווי המשקל של המטוטלת: מצב מנוחה (vθ=0) בזווית θ=0.
תרגיל 3.3:
אותו ייצוג, מכיוון שבמקרה זה השינוי בתנאי ההתחלה לא גורם לשינוי במצבים האפשריים של המטוטלת. לעומת זאת, הגרף של θ(t) כן יהיה שונה (הוא יוזז בזמן).
תרגיל 3.4:
- בהנחה שהמשרעת עודנה קטנה (כך שהקירוב לזוויות קטנות עודנו טוב), ייצוג התנועה ניתן על ידי אליפסה בעלת צירים כפולים מהקודמים.
- נחשב את האנרגיה הכוללת של המטוטלת: בזווית θ=0 כל האנרגיה היא קינטית, ולכן
E=1/2mvθ2=(ΩLA)2
E'/E=(A'/A)2=(2A/A)2=4
מיפוים חד ממדיים
תרגיל 3.5:
המשוואה החדשה תהיה
xn+1=xn+kxn(1-xn)-0.03xn=0.97xn+kxn(1-xn)
תרגיל 3.6:
I. x4= -5.625
II. x3= -3
III. x5= 2.26986
מושכים
תרגיל 3.7:
I. נקודת השבת היחידה היא x=0. נקודה זו היא מושכת, ואגן המשיכה שלה הוא המרווח
(∞, ∞-).
II. נקודות שבת: x=0, x=1 ו-x=-1. שתי הנקודות האחרונות הן דוחות.
מושך | אגן משיכה |
---|---|
-∞ | (-∞,-1) |
+∞ | (1,+∞) |
0 | (-1,1) |
נקודות שבת: x=0 ו-x=1.
הנקודה x=0 דוחה, אך הנקודה x=1 מושכת, כשאגן המשיכה שלה הוא המרווח (0, ∞).
תרגיל 3.9:
I. למיפוי יש שתי נקודות שבת דוחות x=√2/2) ו- (x=-√2/2, ונקודת שבת מושכת אחת x=0. אגו המשיכה של נקודה זו הוא מרווח (-√2/2, √2/2). המרווח (-∞, -√2/2) נמשך ל- x=-∞ והמרווח (√2/2, ∞) נמשך ל- x=∞
II. המושך היחיד היא נקודת השבת x=0.739085. אגר המשיכה שלה הוא כל המרווח .(-∞, ∞)
III. יש שני מושכים: נקודת השבת x=-π/2 המושכת את המרווח (-π, 0) ונקודת השבת x=π/2 המושכת את המרווח (0, π).
הנקודה x=0 היא נרןזרדת שבת דררזה (הנקודה x=π היא נקרשת שבת אוונטואלית דוחה).
תרגיל 3.10:
I. המושך היחיד היא נקודת השבת x=0. אגך המשיכה שלה הוא כל המרווח (0, 1). הנקודה x=1 נמשכת ל-x=-0.3.
II. למיפוי יש שתי נקודות שבת דוחות x=√2) ו- (x=-√2, ונקודת שבת מושכת אחת x=0. אגן המשיכה
של נקודה זו הוא המרווח ( -√2, √2). המרווח ( -∞, -√2) נמשך ל-x=-∞, והמרווח ( -√2, ∞) נמשך ל-x=∞.
III. x=(1-√1.5)/2 היא נקודת שבת מושכת. אגן המשיכה שלה הוא (-(1+√1.5)/2, (1+√1.5)/2).
x=(1+√1.5)/2 היא נקודת שבת דוחה; המרווח ((1+√1.5)/2, ∞) נמשך ל- +∞. גם המרווח
(-∞, -(1+√1.5)/2) נמשך ל- +∞.
תרגיל 3.11:
המפוי נמשך לשתי נקודות לסרוגין: 0 ו- 1-.
מסלולים מחזוריים
תרגיל 3.12:
הזווית צריכה להיות θ0=45o .
תרגיל 3.13:
x היא נקודה מחזורית מסדר שלוש. לכן, F3(x)=x..
F6(x)= F3( F3(x))= F3(x)=x
לכן, x היא נקודה מחזורית מסדר שש.
תרגיל 3.14:
I. מסלול מחזורי מסדר 3.
II. מסלול מחזורי מסדר 2.
III. שתי הנקודות הן נקודות שבת.
IV. שתי הנקודות מהוות מסלול מחזורי מסדר 2.
תרגיל 3.15:
המפוי נמשך ל- 0.
תרגיל 3.16:
I. מסלול מחזורי מסדר 3.
II. מסלול מחזורי מסדר 2.
III. מסלול מחזורי מסדר 3.
IV. נקודת שבת.
תרגיל 3.17:
המיפוי הוא כאוטי.
ניתוח גרפי
תרגיל 3.18:
I. x=0.739 היא נקודת שבת מושכת. אגן המשיכה שלה הוא המרווח (-π, π).
II. x=1 היא נקודת שבת מושכת. אגו המשיכה שלה הוא המרווח (0, ∞). x=0 היא נקודת שםיּנ דוחה.
III. x=0.5 היא נקודת שבת מושכת. אגך המשיכה שלה הוא המרווח (0, 1). x=0 היא נקודת שבת דוחה.
(x=1 היא נקודת שבת אוונסואלית).
IV. x=(1-√3)/2 היא נקודת שבת מושכת. אגך המשיכה שלה הוא (-(1+√3)/2, (1+√3)/2).
x=(1+√3)/2) היא נקודת שבת דוחה; המרווח ((1+√3)/2, ∞) נמשך ל- +∞. גם המרווח
(-∞, -(1+√3)/2) נמשך ל- +∞.
תרגיל 3.19:
במפוי הראשון והשלישי, נקודת השבת היא דוחה. במפוי השני והרביעי היא מושכת.
תרגיל 3.20:
באופן כללי הנקודה x=0 היא מושכת עבור מפוי מהצורה f(x)=mx, אם שיפוע הקו m הוא קטן בערך מוחלט מאחד. כלומר,
x=0 מושכת אם |m|<1.
x=0 דוחה אם |m|>1.
תרגיל 3.21:
נקודות שבת דוחות x=(1-√4.6)/2 ו- x=(1+√4.6)/2. מסלול מחזורי מושך מסדר 2 המורכב
מהנקודות x=-0.11 ו- x=0.88.
נקודות שבת דוחות x=0 ו- x=1. מסלול מחזורי מושך מסדר 2 המורכב מהנקודות x=0.513 ו- x=0.7995.