מרחב המופע

תרגיל 3.1:

תרגיל 3.2:

נקודת הראשית מייצגת את מצב שיווי המשקל של המטוטלת: מצב מנוחה (v_θ=0) בזווית θ=0.

תרגיל 3.3:

אותו ייצוג, מכיוון שבמקרה זה השינוי בתנאי ההתחלה לא גורם לשינוי במצבים האפשריים של המטוטלת. לעומת זאת, הגרף של θ(t) כן יהיה שונה (הוא יוזז בזמן).

תרגיל 3.4:

1. בהנחה שהמשרעת עודנה קטנה (כך שהקירוב לזוויות קטנות עודנו טוב), ייצוג התנועה ניתן על ידי אליפסה בעלת צירים כפולים מהקודמים.
2. נחשב את האנרגיה הכוללת של המטוטלת: בזווית θ=0 כל האנרגיה היא קינטית, ולכן

E=1/2mv_θ²=(ΩLA)²

E'/E=(A'/A)²=(2A/A)²=4

מיפוים חד ממדיים

תרגיל 3.5:

המשוואה החדשה תהיה

x_n+1=x_n+kx_n(1-x_n)-0.03x_n=0.97x_n+kx_n(1-x_n)

תרגיל 3.6:

I. x₄= -5.625

II. x₃= -3

III. x₅= 2.26986

מושכים

תרגיל 3.7:

I. נקודת השבת היחידה היא x=0. נקודה זו היא מושכת, ואגן המשיכה שלה הוא המרווח

(∞, ∞-).
II. נקודות שבת: x=0, x=1 ו-x=-1. שתי הנקודות האחרונות הן דוחות.

 

מושך	אגן משיכה
-∞	(-∞,-1)
+∞	(1,+∞)
0	(-1,1)

נקודות שבת: x=0 ו-x=1.
הנקודה x=0 דוחה, אך הנקודה x=1 מושכת, כשאגן המשיכה שלה הוא המרווח (0, ∞).

תרגיל 3.9:

I. למיפוי יש שתי נקודות שבת דוחות x=√2/2) ו- (x=-√2/2, ונקודת שבת מושכת אחת x=0. אגו המשיכה של נקודה זו הוא מרווח (-√2/2, √2/2). המרווח (-∞, -√2/2) נמשך ל- x=-∞ והמרווח (√2/2, ∞) נמשך ל- x=∞
II. המושך היחיד היא נקודת השבת x=0.739085. אגר המשיכה שלה הוא כל המרווח .(-∞, ∞)
III. יש שני מושכים: נקודת השבת x=-π/2 המושכת את המרווח (-π, 0) ונקודת השבת x=π/2 המושכת את המרווח (0, π).
הנקודה x=0 היא נרןזרדת שבת דררזה (הנקודה x=π היא נקרשת שבת אוונטואלית דוחה).

תרגיל 3.10:

I. המושך היחיד היא נקודת השבת x=0. אגך המשיכה שלה הוא כל המרווח (0, 1). הנקודה x=1 נמשכת ל-x=-0.3.
II. למיפוי יש שתי נקודות שבת דוחות x=√2) ו- (x=-√2, ונקודת שבת מושכת אחת x=0. אגן המשיכה
של נקודה זו הוא המרווח ( -√2, √2). המרווח ( -∞, -√2) נמשך ל-x=-∞, והמרווח ( -√2, ∞) נמשך ל-x=∞.

III. x=(1-√1.5)/2 היא נקודת שבת מושכת. אגן המשיכה שלה הוא (-(1+√1.5)/2, (1+√1.5)/2).
x=(1+√1.5)/2 היא נקודת שבת דוחה; המרווח ((1+√1.5)/2, ∞) נמשך ל- +∞. גם המרווח
(-∞, -(1+√1.5)/2) נמשך ל- +∞.

תרגיל 3.11:

המפוי נמשך לשתי נקודות לסרוגין: 0 ו- 1-.

מסלולים מחזוריים

תרגיל 3.12:

הזווית צריכה להיות θ₀=45^o .

תרגיל 3.13:

x היא נקודה מחזורית מסדר שלוש. לכן, F³(x)=x..

F⁶(x)= F³( F³(x))= F³(x)=x

לכן, x היא נקודה מחזורית מסדר שש.

תרגיל 3.14:

I. מסלול מחזורי מסדר 3.
II. מסלול מחזורי מסדר 2.
III. שתי הנקודות הן נקודות שבת.
IV. שתי הנקודות מהוות מסלול מחזורי מסדר 2.

תרגיל 3.15:

המפוי נמשך ל- 0.

תרגיל 3.16:

I. מסלול מחזורי מסדר 3.
II. מסלול מחזורי מסדר 2.
III. מסלול מחזורי מסדר 3.
IV. נקודת שבת.

תרגיל 3.17:

המיפוי הוא כאוטי.

 

ניתוח גרפי

תרגיל 3.18:

I. x=0.739 היא נקודת שבת מושכת. אגן המשיכה שלה הוא המרווח (-π, π).

II. x=1 היא נקודת שבת מושכת. אגו המשיכה שלה הוא המרווח (0, ∞). x=0 היא נקודת שםיּנ דוחה.

III. x=0.5 היא נקודת שבת מושכת. אגך המשיכה שלה הוא המרווח (0, 1). x=0 היא נקודת שבת דוחה.
(x=1 היא נקודת שבת אוונסואלית).

IV. x=(1-√3)/2 היא נקודת שבת מושכת. אגך המשיכה שלה הוא (-(1+√3)/2, (1+√3)/2).
x=(1+√3)/2) היא נקודת שבת דוחה; המרווח ((1+√3)/2, ∞) נמשך ל- +∞. גם המרווח

(-∞, -(1+√3)/2) נמשך ל- +∞.

תרגיל 3.19:

במפוי הראשון והשלישי, נקודת השבת היא דוחה. במפוי השני והרביעי היא מושכת.

תרגיל 3.20:

באופן כללי הנקודה x=0 היא מושכת עבור מפוי מהצורה f(x)=mx, אם שיפוע הקו m הוא קטן בערך מוחלט מאחד. כלומר,

x=0 מושכת אם |m|<1.
x=0 דוחה אם |m|>1.

תרגיל 3.21:

נקודות שבת דוחות x=(1-√4.6)/2 ו- x=(1+√4.6)/2. מסלול מחזורי מושך מסדר 2 המורכב
מהנקודות x=-0.11 ו- x=0.88.
נקודות שבת דוחות x=0 ו- x=1. מסלול מחזורי מושך מסדר 2 המורכב מהנקודות x=0.513 ו- x=0.7995.