פעילות בעזרת גיליון אלקטרוני

ברצוננו לבנות גיליון אלקטרוני שיאפשר חישוב של מעריך ליאפונוב עבור ערכים שונים של a.

לצורך זה, פתח גיליון חדש ורשום ברשימת הקבועים ערך ל- a=4) a), ערך התחלתי ל-x, וערך ל- Δx התחלתי. בנה עכשיו ארבע עמודות לפי התיאור הבא:

1. עמודה תחת הכותרת "n" עם מספרים שלמים מ- 0 עד 100 המציינים את מספר האיטרציה.
2. עמודה תחת הכותרת "x" המקבלת מספר התחלתי x₀ (הרשום ברשימת הקבועים), ומחשבת את הבאים בעזרת המשוואה הלוגיסטית.
3. עמודה תחת הכותרת " 'x " המקבלת גם היא מספר ראשון x'₀=x₀+Δ ומחשבת את הבאים בעזרת המשוואה הלוגיסטית.
4. עמודה המחשבת את ההבדל בערך מוחלט בין הערכים של x ו- 'x בכל איטרציה.

שאלות:

1. בחר ערך התחלתי של Δ=0.001 בדוק בטבלה כמה איטרציות של המיפוי לוקח להגיע לערך Δ=0.4. הקטן עכשיו את Δ התחלתי פי מאה. כמה איטרציות לקח עכשיו עד שהגיע לערך Δ=0.4? האם תוכל להסביר מדוע לא לקח פי מאה יותר איטרציות?
2. הסבר מהן ההשלכות של התנהגות זו לגבי בעיית החיזוי.
3. בנה עכשיו גרף המייצג את גודל ההפרש בין הערכים של x ו- 'x בכל איטרציה, כפונקציה של מספר האיטרציה. כפי שהסברנו, ההבדל גדל אך אחר כך קטן מחדש. בחר את האזור בו הוא גדל, וצייר עבורו גרף של (|'log(|x-x כפונקציה של הזמן. מתוך שיפוע הגרף, חשב את מעריך ליאפונוב של המיפוי.
   הערה: כדאי לבחור ערך קטן של Δ התחלתי על מנת שהשגיאה תגדל במשך מספר רב של איטרציות.
4. בדוק איך משתנה המעריך שחישבת כשהינך משנה את הערך ההתחלתי של x. מה מייצג אם כך "מעריך הליאפונוב" של המשוואה עבור a=4?
5. בדוק מהו מעריך הליאפונוב עבור a=3.1. מדוע קיבלת מספר שלילי?