מה למדנו במכניקה?

החיזוי בעזרת נוסחה של (x(t הוא אם כך פשוט: צריך רק להציב במשוואת מקום-זמן את התנאים ההתחלתיים ואת הזמן.

נסקור עתה אילו נוסחאות של (x(t למדנו במכניקה:

למדנו שתנועתו של גוף הנע בתאוצה קבועה מתוארת על ידי הנוסחה

(1)x=x_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}

ראינו גם שתנועתו של גוף הקשור לקפיץ אלסטי (תנועה הרמונית פשוטה) מתוארת על ידי

(2)x=x_{0}cos\left ( \omega t+\phi \right )

אך במקרה הכללי הכוח הפועל על גוף אינו בהכרח קבוע או אלסטי. הכוח הפועל על גוף יכול להשתנות גם כפונקציה של המקום, כמו במקרה של גוף הנע בשדה מגנטי לא אחיד, גם כפונקציה של הזמן, כמו במקרה של גוף הנדחף על ידי אדם המתעייף אט אט, וגם כפונקציה של מהירות הגוף, כמו במקרה של גוף הנופל בתוך נוזל צמיג.

מה קורה אם כן במקרה הכללי? האם תמיד קיימת נוסחה של (x(t?

במקרה הכללי אנו יודעים שלפי החוק השני של ניוטון, תאוצת הגוף קשורה לכוח המופעל עליו בצורה הבאה:

(3)\sum F=ma

כלומר, אם אנו מכירים מהם הכוחות הפועלים על הגוף בכל רגע, אנו יודעים מהי תאוצתו בכל רגע.

שימו לב! משוואה זו היא הרבה יותר עשירה ממה שנראה לעין. אנו רגילים להשתמש בה כדי לחלץ ממנה את הערך של התאוצה של הגוף, המופיעה במשוואה (1), אך במקרה הכללי התאוצה אינה קבועה, היא משתנה מרגע לרגע, והמשוואה (3) כוללת בתוכה את כל המידע על התפתחות תנועת הגוף.

נניח שגוף נמצא ברגע מסוים t במקום x, יש לו מהירות v, ופועל עליו כוח F. ברגע זה תאוצת הגוף תהיה שווה ל-F/m, אך כתוצאה מתאוצה זו, רגע אחרי זה לגוף תהיה כבר מהירות שונה v', ומכיוון שהיתה לו מהירות מסוימת הוא יהיה במקום שונה 'x, ולכן יפעל עליו כוח אחר 'F. כוח זה שוב יגרום לגוף לשנות את מהירותו וכך הלאה. כל המידע הזה על תנועת הגוף חבוי בעצם בנוסחה (3).

עתה נכתוב את הנוסחה \sum F=ma

בצורה קצת שונה.

כפי שאנו יודעים, התאוצה היא קצב שינוי המהירות. כלומר, a=dv/dt.

לכן, \sum F=m\frac{dv}{dt}

בנוסף לכך, המהירות מוגדרת כ-v=dx/dt, ולכן ניתן לכתוב את החוק השני של ניוטון בצורה הבאה:

(4)\sum F=\frac{md^{2}x}{dt^{2}}

הביטוי \frac{d^{2}x}{dt^{2}}

משמעותו לבצע פעמיים את הנגזרת של x לפי t.

עם הצבת הכוחות, משוואה (4) הופכת למשוואה דיפרנציאלית (כלומר, משוואה הכוללת נגזרות), הכוללת את מלוא המידע על השינויים בתנועתו של הגוף כפונקציה של הזמן. משוואה זאת נקראת משוואת התנועה.

אם אנו רוצים לדעת איפה הגוף יהיה ברגע מסוים, צריך לפתור את משוואה (4) ולמצוא נוסחה של (x(t.

כפי שנראה בהמשך, דבר זה לא תמיד אפשרי. ברצוננו עכשיו להבין איך ניתן לקבל נוסחה של (x(t ממשוואת התנועה, במקרה שזה כן אפשרי.

לעמוד הבא

לעמוד הקודם