אותה בעיה – הגדרות שונות של המשתנה

 

צפייה בתיק המלא

 

מטרות התיק

תיק זה נועד לסייע למורה להעריך את יכולת התלמידים להשתמש בהגדרות שונות של המשתנה (או המשתנים) במהלך פתרון בעיה באופן אלגברי.

ההערכה והמענה לקשיים מתמקדים ביכולות התלמידים:

  • לזהות אפשרויות שונות להגדרת המשתנה במהלך פתרון בעיה באופן אלגברי.
  • להגדיר באופנים שונים את המשתנה במהלך פתרון בעיה באופן אלגברי.
  • לפתור בעיה באופן אלגברי בהלימה להגדרות שונות של המשתנה.

 

רקע

פתרון מתמטי של בעיות המוצגות בשפה טבעית (בעיות מילוליות) כולל בנייה של מודל מתמטי לבעיה, והפעלה של כלים מתמטיים על המודל, כדי למצוא פתרון לבעיה. סוג נפוץ של מודל מתמטי הוא משוואה (או מערכת משוואות). לדוגמה, מודל מתמטי מתאים לבעיה:

מהם שלושת המספרים הטבעיים העוקבים שמכפלתם גדולה פי 15 מהמספר האמצעי מבין השלושה?

הוא המשוואה:\(x(x+1)(x+2)=15(x+1)\) (\(x\ge 1\), x מספר טבעי) כאשר x מייצג את המספר הקטן מבין השלושה.

במקרים בהם אי אפשר (או קשה) לפתור את המשוואה שנבנתה כמודל לבעיה מסוימת, בחירה אחרת של המשתנה עשויה לאפשר בנייה של משוואה שאותה אפשר (או קל יותר) לפתור. לדוגמה, במקרה של הבעיה לעיל, תלמידים נוטים לפשט ולכן מקבלים משוואה ממעלה שלישית \({{\text{x}}^{\text{3}}}\text{ + 3}{{\text{x}}^{\text{2}}}-\text{13x}-\text{15 = 0}\) שפתרונה מסובך ומצריך שימוש בכלים מתמטיים מתקדמים. אולם בחירה של המשתנה x לייצג את המספר האמצעי במקום את המספר הקטן, תאפשר לבנות את המשוואה: \(\displaystyle (x-1)\cdot x\cdot (x+1)=15x\)  (\(x\ge 2\), x מספר טבעי) כמודל מתמטי לבעיה, ובכך לאפשר/להקל על הפתרון. במקרה זה מקבלים, לאחר פישוט, את המשוואה: \(\displaystyle {{x}^{3}}-16x=0\)  שניתנת לפתרון בקלות על ידי פירוק לגורמים.

קושי נפוץ של תלמידים מתבטא בכך שתלמידים מניחים שיש רק דרך אחת להגדרת המשתנה במהלך פתרון בעיה באופן אלגברי. קושי נוסף של תלמידים כרוך בהנחה שפתרון המשוואה הוא גם פתרון הבעיה. לדוגמה, במקרה שלמעלה, שלושת פתרונות המשוואה: \({{x}^{3}}-16x=0\) (\({{x}_{3}}=4\),\({{x}_{2}}=0\) , \({{x}_{1}}=-4\)) אינם שלושת המספרים המבוקשים, אלא כל אחד מהם מגדיר שלשה של מספרים עוקבים העונים על תנאי הבעיה:\(\left( {3, 4, 5} \right)\) ,\(\left( {-1, 0, 1} \right)\) ,\(\left( {-3, -4, -5} \right)\) . בעקבות אילוצי הבעיה רק השלשה \(\left( {3, 4, 5} \right)\) היא פתרון הבעיה.

התיק אותה בעיה – הגדרות שונות של המשתנה נועד לסייע למורה לזהות תלמידים שיש להם קשיים אלה, ולתת להם מענה.

 

הצעה למהלך העבודה

צפייה בתיק המלא

 

זמני עבודה משוערים

    • עבודה על משימות הערכה 45-30 דקות.
    • פעילויות בעקבות ההערכה: 90-60 דקות.

 

החומרים והעזרים הדרושים

לצורך עבודה על משימות הערכה (לכל תלמיד/ה):

לצורך הערכת תוצרי תלמידים:

לצורך הפעילות בעקבות ההערכה (לכל תלמיד/ה):