שיקופים של פונקציה - משימטיקהמשימטיקה

מטרות התיק
רקע
הצעה למהלך העבודה
זמני עבודה משוערים
החומרים והעזרים הדרושים – להורדה
פתרונות של תלמידים

מטרות התיק

לסייע למורה להעריך את יכולת התלמידים להתאים בין ייצוגים גרפיים, סימבוליים ומילוליים של שיקופים של פונקציות ביחס לציר ה – x וביחס לציר ה – y , ולתת מענה לקשיים שמתגלים.
ההערכה והמענה לקשיים מתמקדים ביכולת התלמידים:

להתאים בין שיקוף של גרף הפונקציה (f(x ביחס לציר ה – x לבין ביטוי סימבולי מהצורה (f(x-.
להתאים בין שיקוף של גרף הפונקציה (f(x ביחס לציר ה – y לבין ביטוי סימבולי מהצורה (f(-x.
להתאים בין גרף המתאר את הערך המוחלט של הפונקציה (f(x לבין ביטוי סימבולי מהצורה |(f(x|.

רקע

במסגרת המבוא ללימודי אנליזה של פונקציות עוסקים בפעולות שונות על פונקציות (הזזות, מתיחות וכיווצים, שיקופים ועוד) ובייצוגים המילולי, הגרפי והאלגברי של פעולות אלה. בעזרת פעולות על פונקציות ניתן להשתמש בידע קודם על פונקציה אחת כדי להסיק על תכונותיה של פונקציה אחרת. בנוסף שימוש בפעולות אלה מאפשר לבצע בקרה על תוצאות חקירה של פונקציה המתקבלת מפונקציה מוכרת אחרת על ידי הרכבה של פעולות כאלה. לדוגמה, ניתן לשרטט בקלות את גרף הפונקציה y=-x² אם מתייחסים אליו כאל שיקוף ביחס לציר ה – x של גרף הפונקציה y=x².

הפעולות המתבצעות על פונקציות כוללות שיקופים ביחס לצירים. שיקופים כאלה מופיעים בפרקי לימוד שונים ובהקשרים שונים, ביניהם פרבולות, הפונקציות $y=\sqrt{x}$ ו- $y=\sqrt{-x}$ (וכנ"ל $y=\ln(x)$ ו- $y=\ln(-x)$ ), פונקציות זוגיות ואי זוגיות ועוד.

בעוד שפעולת השיקוף של פונקציה ביחס לצירים בייצוג הגרפי היא פעולה קלה יחסית לתלמידים, הבנת הייצוג הסימבולי שלה בדרך כלל קשה יותר. כמו כן פעמים רבות הבנת משמעות הביטוי (f(x- כשיקוף של הפונקציה (f(x ביחס לציר ה- x קלה יותר מאשר הבנת משמעות הביטוי (f(-x כשיקוף ביחס לציר ה – y . בנוסף לכך ישנם תלמידים המתקשים בהבנת ההשלכות של שיקוף הפונקציה ביחס לציר כלשהו על תכונות הפונקציה החדשה. למשל, במקרה של שיקוף פונקציה ביחס לציר ה – x, נקודות האפס נשמרות, אך סוג נקודות הקיצון מתהפך (נקודת מקסימום הופכת למינימום ולהפך), וכן תחומי העלייה והירידה של הפונקציה מתחלפים. בביצוע פעולת ערך מוחלט על פונקציה, כלומר, |(f(x| מתבצע שיקוף ביחס לציר ה- x . במקרה זה השיקוף אינו חל על כל הפונקציה, אלא רק על תחום חלקי שלה – תחום השליליות. עובדה זאת מהווה מקור לקשיים אצל תלמידים רבים.

התיק שיקופים של פונקציה נועד לסייע למורה לזהות תלמידים שיש להם קשיים בעבודה עם שיקופים של פונקציה ביחס לצירים, ולתת להם מענה.