זהויות מתמטיות: ביטויים ומשוואות עם מכנים

מטרות התיק
רקע
הצעה למהלך העבודה
זמני עבודה משוערים
החומרים והעזרים הדרושים – להורדה
פתרונות של תלמידים

מטרות התיק

תיק זה נועד לסייע למורה להעריך את יכולת התלמידים לעבוד עם משוואות וביטויים אלגבריים עם מכנים מספריים, ולתת מענה לקשיים שמתגלים.

ההערכה והמענה לקשיים מתמקדים ביכולת התלמידים:

למצוא ביטוי אלגברי זהה לביטוי אלגברי נתון המכיל מכנים מספריים.
למצוא משוואה שקולה למשוואה נתונה המכילה מכנים מספריים.
להבחין בין פעולות מותרות לעבודה עם משוואות המכילות מכנים (מספריים) לפעולות מותרות לעבודה עם ביטויים אלגבריים המכילים מכנים (מספריים).

רקע

ביצוע פעולות עם עצמים מתמטיים, כגון ביטויים אלגבריים ומשוואות, הוא פעילות שכיחה במתמטיקה בכלל ובאלגברה בפרט. בתיק זה נעסוק בבצוע פעולות הקשורות לפישוט ביטויים אלגבריים ולפתרון משוואות. תלמידים רבים נתקלים בקשיים כאשר הם עוסקים בביטויים אלגבריים ובמשוואות עם מכנים מספריים. חלק מהקשיים עלולים לנבוע מאי-הבחנה בין הפעולות הקשורות לביטויים אלגבריים ובין הפעולות הקשורות למשוואות. קושי נפוץ כרוך בניסיון של תלמידים ״להיפטר מהמכנה״ על-ידי כפל העצם המתמטי במספר שיאפשר ביטול המכנה (או המכנים). ביצוע פעולה כזאת מתאים במהלך פתרון משוואות, שכן הוא מייצר משוואה שקולה שפתרונותיה זהים לאלה של המשוואה המקורית, אך אינו מתאים במהלך פישוט ביטויים אלגבריים בעלי מכנה. כך, למשל, ישנם תלמידים הכופלים ביטוי,

כמו \(\frac{x}{2}+\frac{3}{5}\) ב-10 (מכנה משותף), ומקבלים את הביטוי \(\displaystyle \text{5}x\text{ + 6}\), שאינו זהה לביטוי המקורי.

קושי נוסף של תלמידים בהקשר זה הוא ביצוע שגוי של כפל העצם המתמטי במספר שיאפשר ביטול המכנה (או המכנים) במכנה משותף של השברים המופיעים במשוואה, בלי להכפיל מחוברים שאין להם מכנים.

למשל, יש תלמידים המתכוונים להכפיל ב-10 את אגפי המשוואה \(\frac{{{{x}^{2}}}}{5}+x=\frac{{3x}}{2}-1\) ומקבלים באופן שגוי את המשוואה \(\displaystyle 2{{x}^{2}}+ x = 15x -1\) שאינה שקולה למשוואה המקורית.

עבודה עם ביטויים אלגבריים ומשוואות בעלי מכנים מעלה קשיים כאלה ואחרים אשר מפריעים לתלמידים במהלך לימודי המתמטיקה בשלבים השונים.

התיק זהויות מתמטיות: ביטויים ומשוואות עם מכנים מספריים נועד לסייע למורה לזהות תלמידים שיש להם קשיים אלה ולתת להם מענה.