זהויות מתמטיות: נוסחאות הכפל המקוצר

צפייה בתיק המלא

מטרות התיק

זה נועד לסייע למורה להעריך את יכולות התלמידים ליצור ולהשתמש בזהויות מתמטיות הנקראות נוסחאות הכפל המקוצר, ולתת מענה לקשיים שמתגלים. התיק עוסק בזהויות:
\(\displaystyle {{\left( {a + b} \right)}^{2}}= {{a}^{2}}+ 2ab + {{b}^{2}}\)   \(\displaystyle {{\left( {a – b} \right)}^{2}}= {{a}^{2}} – 2ab + {{b}^{2}}\)   \(\displaystyle \left( {a + b} \right)\left( {a -b} \right) = {{a}^{2}}- {{b}^{2}}\)
ההערכה והמענה לקשיים מתמקדים ביכולת התלמידים:

    • ליצור זהויות מתמטיות המבוססות על נוסחאות הכפל המקוצר.
    • להשתמש בנוסחאות הכפל באופן סימטרי.
  • להשתמש בנוסחאות הכפל בהקשר הכרוך בראייה מבנית של ביטויים אלגבריים.
  • רקע

    במתמטיקה קיימות זהויות מסוגים שונים: זהויות טריגונומטריות, מעריכיות, לוגריתמיות ועוד. אחד השימושים השכיחים בזהויות מתמטיות הוא החלפה של ביטוי אחד בביטוי אחר זהה לו במהלך פתרון בעיה. לדוגמה, אם ידוע הערך של \(\displaystyle \sin x\), ניתן למצוא בקלות את הערך של \(\cos x\) בעזרת שימוש בזהות \(\displaystyle co{{s}^{2}}x=1-si{{n}^{2}}x~\). העיסוק בזהויות מתמטיות במסגרת לימודי האלגברה בחטיבת הביניים כולל זהויות מתמטיות המכונות נוסחאות הכפל המקוצר:
    \(\displaystyle {{\left( {a + b} \right)}^{2}}= {{a}^{2}}+ 2ab + {{b}^{2}}\)   \(\displaystyle {{\left( {a – b} \right)}^{2}}= {{a}^{2}} – 2ab + {{b}^{2}}\)   \(\displaystyle \left( {a + b} \right)\left( {a -b} \right) = {{a}^{2}}- {{b}^{2}}\)
    לזהויות אלה יש שימוש רב בפתרון בעיות שבהן יש לבצע פעולות אלגבריות מורכבות כמו: פירוק לגורמים, צמצום שברים אלגבריים, פתרון משוואות עם מכנים.

    למשל, בצמצום השבר הבא:

    \(\frac{{{{x}^{2}}+8x+16}}{{x+4}}\)     \(\displaystyle \left( {x \ne -4} \right)\)

    מקבלים:

    \(\displaystyle \frac{{{{x}^{2}}+8x+16}}{{x+4}}=\frac{{{{{(x+4)}}^{2}}}}{{x+4}}=x+4\)     \(\displaystyle \left( {x \ne -4} \right)\)

     

    יש קשיים שונים העולים בהקשר של השימוש בנוסחאות הכפל. בתיק זה נתייחס לקשיים הבאים:

    • קושי ביצירת זהויות מתמטיות המבוססות על נוסחאות הכפל המקוצר, בהקשר של פתיחת סוגריים. שגיאות אופייניות של תלמידים הן לכתוב כך:

    \(\displaystyle {{\left( {a + b} \right)}^{2}}= {{a}^{2}}+ {{b}^{2}}\) או  \(\displaystyle {{\left( {a-b} \right)}^{2}}= {{a}^{2}}-{{b}^{2}}\).

    • קושי ביצירת זהויות מתמטיות המבוססות על נוסחאות הכפל המקוצר, בהקשר של פירוק לגורמים. למשל: כאשר יש למצוא את אורכי הצלעות של ריבוע ששטחו מיוצג על ידי הביטוי \(\displaystyle 16{{x}^{2}}-24x + 9\), יש תלמידים המתקשים להבחין שהביטוי הנתון זהה לביטוי \(\displaystyle {{\left( {4x-3} \right)}^{2}}\), ולכן הביטוי \(\displaystyle (x > \frac{3}{4}) 4x – 3\) מייצג את אורך צלע הריבוע.

    .

    • קושי ביצירה ובשימוש בנוסחאות הכפל, כאשר הם כרוכים בראייה מבנית של ביטויים אלגבריים. למשל:

    בפישוט הביטוי \(\displaystyle {{\left( {4x-1} \right)}^{2}}\), יש תלמידים המתקשים להתייחס לביטוי \(\text{4}x\), כאילו הוא המשתנה a בנוסחת הכפל \(\displaystyle {{\left( {a-b} \right)}^{2}}= {{a}^{2}}-2ab + {{b}^{2}}\) או להתייחס לביטוי \(\displaystyle \left( {4x-1} \right)\) כאילו הוא הביטוי \(a-b\) באותה הנוסחה.

     

     

    התיק זהויות מתמטיות: נוסחאות הכפל המקוצר נועד לסייע למורים לזהות תלמידים שיש להם קשיים אלה, ולתת להם מענה.