התנהגות הפונקציה והתנהגות הנגזרת

מטרות התיק
רקע
הצעה למהלך העבודה
זמני עבודה משוערים
החומרים והעזרים הדרושים – להורדה
פתרונות של תלמידים

מטרות התיק

לסייע למורה להעריך את יכולת התלמידים לקשור בין ההתנהגות של פונקציה בתחום מסוים (עלייה, ירידה, נקודות קיצון ונקודות פיתול, לינאריות) לבין התנהגות הפונקציה הנגזרת בתחום זה. בפרט להעריך את יכולתם להסיק כיצד. קשר זה מתבטא בגרפים של שתי הפונקציות, ולתת מענה לקשיים שמתגלים.

ההערכה והמענה לקשיים מתמקדים ביכולת התלמידים:

לקשור בין ההתנהגות של פונקציה בתחום מסוים לבין סימן הנגזרת בתחום זה:
- אם הפונקציה f עולה בתחום מסוים, אז הנגזרת 'f היא אי-שלילית בתחום זה. באופן דומה, אם הפונקציה f יורדת בתחום מסוים, אז הנגזרת 'f אינה חיובית בתחום זה.
- אם הנגזרת 'f חיובית בתחום מסוים, אז הפונקציה f עולה בתחום זה. באופן דומה אם הנגזרת 'f שלילית בתחום מסוים, אז הפונקציה f יורדת בתחום זה.
- אם לפונקציה f יש נקודת קיצון בנקודה פנימית, אז הנגזרת 'f מתאפסת בנקודה זו.
- אם הנגזרת 'f של פונקציית פולינום f מתאפסת בנקודה מסוימת, אז לפונקציה f יש בנקודה זו או נקודת קיצון או נקודת פיתול.
לקשור בין ההתנהגות של פונקציה בתחום מסוים לבין התנהגות הפונקציה הנגזרת בתחום זה:
- אם לפונקציית פולינום f יש נקודת קיצון בנקודה פנימית, אז בנקודה זו גרף הפונקציה הנגזרת 'f חותך את ציר ה-x.
- אם לפונקציה f יש נקודת פיתול , אז בנקודה זו לגרף הפונקציה הנגזרת 'f יש נקודת קיצון שבה הוא משיק לציר ה-x.
- אם הפונקציה f היא פונקציה קווית (לינארית), אז הפונקציה הנגזרת 'f היא פונקציה קבועה. כמו כן אם הפונקציה f אינה פונקציה קווית, אז הפונקציה הנגזרת 'f אינה פונקציה קבועה.
להשתמש בכל המסקנות שלעיל כדי להתאים בין גרף של פונקציה לבין הגרף של נגזרתה.

רקע

הפונקציה הנגזרת מהווה כלי חשוב המסייע לחקור התנהגות של פונקציות. במהלך לימודי האנליזה נעשה שימוש רב בקשרים שבין התנהגות פונקציה לבין תכונות הנגזרת שלה. לדוגמה, בהינתן פונקציה בייצוג אלגברי, ניתן למצוא את תחומי העלייה והירידה שלה, בהתבסס על הקשר ביניהם ובין סימן הנגזרת: בתחום שבו סימן הנגזרת חיובי – הפונקציה עולה, ובתחום שבו סימן הנגזרת שלילי – הפונקציה יורדת.

תלמידים רבים מתקשים בהבנת הקשרים שבין התנהגות פונקציה בתחום מסוים לבין סימן הנגזרת שלה בתחום זה. אחד הגורמים לקושי זה נעוץ בהבנת המשמעות של ערך הנגזרת בנקודה כשיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה זו, ושל הפונקציה הנגזרת כמבטאת את השתנות שיפועי המשיקים. גורם אפשרי נוסף הוא בלבול בין המושגים עלייה וירידה לבין המושגים חיוביות ושליליות, בפרט כאשר הם מבוטאים בגרף.

קושי נוסף נובע מכך שהקשרים שבין פונקציה לבין הנגזרת שלה אינם דו-כיווניים. לדוגמה, אם הנגזרת של פונקציה חיובית אז הפונקציה עולה בתחום זה. אם הפונקציה עולה בתחום מסוים אז הנגזרת אינה בהכרח חיובית, היא יכולה להיות 0 בנקודה מסוימת בתחום. גם הקשר בין נקודות הקיצון של הפונקציה לבין התאפסות הנגזרת נכון רק בכיוון אחד. בנקודות קיצון הנגזרת מתאפסת, אך נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת אינן בהכרח נקודות קיצון. בפונקציות פולינום נקודות כאלה יכולות להיות נקודות קיצון או נקודות פיתול. כדי לקבוע אם בנקודה כזו יש לפונקציה נקודת קיצון או נקודת פיתול, יש לבדוק למשל, אם הנגזרת מחליפה סימן בנקודה זו.

קושי אחר שיש לתלמידים הוא חוסר התייחסות לנגזרת של פונקציה בתחום מסוים כמייצגת את קצב השינוי של הפונקציה בתחום זה. למשל, במקרה של פונקציה קווית שקצב השינוי שלה אחיד, תלמידים רבים אינם קושרים זאת לכך שהנגזרת של פונקציה קווית היא פונקציה קבועה.

התיק התנהגות פונקציה והתנהגות הנגזרת נועד לסייע למורה לזהות תלמידים המתקשים בשימוש בקשרים שבין התנהגות הפונקציה לבין התנהגות הנגזרת ולתת להם מענה.