משפטים הפוכים: מרובעים - משימטיקהמשימטיקה

מטרות התיק
רקע
הצעה למהלך העבודה
זמני עבודה משוערים
החומרים והעזרים הדרושים – להורדה
פתרונות של תלמידים

מטרות התיק

לסייע למורה להעריך את יכולת התלמידים להשתמש במהלך פתרון בעיות בגיאומטריה במשפט מתאים ולא במשפט ההפוך לו, ולתת מענה לקשיים המתגלים. התיק עוסק בנושא מרובעים.

ההערכה והמענה לקשיים מתמקדים ביכולת התלמידים:

להסיק שנכונות של טענה אינה מבטיחה נכונות של הטענה ההפוכה.
לנמק טענה בגיאומטריה באמצעות משפט מתאים ולא על סמך הטענה ההפוכה למשפט.

רקע

במתמטיקה בכלל, ובגיאומטריה בפרט, עוסקים רבות בהוכחות. במהלכן, מתבססים לעיתים קרובות על הסקה דדוקטיבית תוך שימוש בנתונים ובמשפטים שהוכחו קודם.

קושי נפוץ של תלמידים במהלך הוכחה מתבטא בכך שתלמידים מניחים שאם טענה מסוימת נכונה, אז גם הטענה ההפוכה לה נכונה. למשל, לאחר שתלמידים הוכיחו ש"במלבן האלכסונים שווים באורכם", יש תלמידים המסיקים ש"מרובע שאלכסוניו שווים באורכם הוא מלבן".

קושי נוסף של תלמידים מתבטא במתן נימוק לנכונות של טענה באמצעות טענה הפוכה למשפט המתאים, וכך הם מסתמכים על הטענה אותה רוצים להוכיח. למשל, במקום לנמק מדוע מרובע הוא מקבילית באמצעות המשפט: ״מרובע שצלעותיו הנגדיות שוות באורכן הוא מקבילית״, יש תלמידים המשתמשים בטענה ההפוכה, ורושמים: ״כי הצלעות הנגדיות במקבילית שוות באורכן". קושי זה קשור, לעיתים קרובות, לחוסר אבחנה של המשמעות השונה של הטענה ההפוכה, ולאו דווקא לבחירה מכוונת של הטענה ההפוכה למשפט המתאים. במקרים כאלה, התלמידים מתייחסים למשפט המתאים ולטענה ההפוכה לו, כאילו הם היינו הך.

קושי אחר של תלמידים כרוך בזיהוי מה נתון ומה צריך להוכיח בטענה המנוסחת מילולית. בקושי זה עוסקים בתיק משימטיקה זיהוי נתונים ומסקנות.

מרובעים הוא נושא מרכזי בתכנית הלימודים בגיאומטריה. התיק משפטים הפוכים: מרובעים נועד לסייע למורה להעריך יכולות וקשיים של התלמידים בנושא זה ולתת להם מענה.