זהויות מתמטיות וביטויים נגדיים

מטרות התיק
רקע
הצעה למהלך העבודה
זמני עבודה משוערים
החומרים והעזרים הדרושים – להורדה
פתרונות של תלמידים

מטרות התיק

תיק זה נועד לסייע למורה להעריך את יכולות התלמידים לעבוד עם ביטויים נגדיים.

ההערכה והמענה לקשיים מתמקדים ביכולת התלמידים:

לזהות ביטויים נגדיים.
ליצור ביטוי נגדי לביטוי נתון.

להשתמש בביטויים נגדיים.

רקע

איבר הופכי הינו מושג מרכזי בהקשר של מבנים אלגבריים כמו חבורות. בלימודי המתמטיקה בבית הספר יש לאיבר הופכי מופעים שונים, כמו מספר או ביטוי הופכי (כאשר עוסקים בפעולת הכפל בין מספרים או בין ביטויים), פונקציה הופכית (כאשר עוסקים בפעולת ההרכבה של פונקציות), מספר או ביטוי נגדי (כאשר עוסקים בפעולת החיבור בין מספרים או בין ביטויים). תיק זה עוסק בביטויים נגדיים: שני ביטויים אלגבריים שהם הופכיים זה לזה ביחס לפעולת החיבור, כלומר סכומם אפס (שהוא איבר היחידה של פעולת החיבור).

תלמידים מתקשים לעיתים בעבודה עם ביטויים הופכיים, אם משום שאינם קושרים את המונח עם משמעות ההגדרה שלו (סכום אפס) ואם משום שהם מתקשים בטכניקה אלגברית. למשל,

התייחסות לביטויים \(\displaystyle \left( {\text{2 — }x} \right)\) ו- \(\displaystyle \left( {\text{–2 — }x} \right)\) כנגדיים זה לזה על-סמך המחובר הראשון בלבד, או התייחסות לביטויים \(\displaystyle {{\left( {\text{2 — }x} \right)}^{\text{2}}}\) ו- \(\displaystyle {{\left( {x\text{ — 2}} \right)}^{\text{2}}}\) כנגדיים (ולא כביטויים זהים) על-סמך בסיסי החזקות בלבד.
התייחסות לשתי המכפלות \((x \text{–}2)(x \text{–}3)\) ו- \((2 \text{– }x)(3 \text{– }x)\) או לשני השברים \(\frac{{x \text{– }2}}{{x \text{– }3}}\) ו- \((x\ne 3)\,\,\,\,\,\,\frac{{2 \text{– }x}}{{3 \text{– }x}}\) כנגדיים זה לזה, מכיוון שלכל גורם במכפלה האחת יש גורם נגדי במכפלה השנייה, או מכיוון שגם המונים וגם המכנים בשני השברים הם ביטויים נגדיים זה לזה.
אי-זיהוי של זוג ביטויים נגדיים כתוצאה משינוי מקומם של הרכיבים בביטויים אלה – למשל, \((a \text{– }b)\) ו- \((b \text{– }a)\).
אי-שימוש בביטויים נגדיים בפעולות פישוט שונות – כמו למשל, צמצום שברים, ביטול מחוברים נגדיים בחיבור, מציאת מכנה משותף בחיבור שברים, מציאת פתרונות של משוואות באמצעות שיקולים הקשורים לביטויים נגדיים.

התיק זהויות מתמטיות וביטויים נגדיים נועד לסייע למורים לזהות תלמידים שיש להם קשיים אלה ולתת להם מענה.