זהויות מתמטיות: חוקי החזקות

 

צפייה בתיק המלא

 

מטרות התיק

תיק זה נועד לסייע למורה להעריך את יכולת התלמידים ליצור ולהשתמש בזהויות מתמטיות הנקראות חוקי חזקות, ולתת מענה לקשיים שמתגלים. חוקי החזקות שבהם התיק עוסק, מתייחסים לפעולות בין חזקות עם בסיסים זהים, ולפעולות בין חזקות עם מעריכים זהים, בעבור a ו-b ממשיים ושונים מאפס, x ו- y שלמים:

\(\displaystyle {{a}^{x}}\cdot \ {{a}^{y}}=\text{ }{{a}^{{x+y}}}\)   \({{a}^{\text{x}}}\cdot {{b}^{\text{x}}}\text{=(}a\cdot b{{\text{)}}^{\text{x}}}\)   \({{({{a}^{x}})}^{y}}={{a}^{{x\cdot y}}}\)
\(\displaystyle \frac{{{{a}^{x}}}}{{{{a}^{y}}}}={{a}^{{x-y}}}\)   \(\frac{{{{a}^{x}}}}{{{{b}^{x}}}}={{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{x}}\)

ההערכה והמענה לקשיים מתמקדים ביכולת התלמידים:

  • ליצור זהויות מתמטיות המבוססות על חוקי החזקות.
  • להשתמש בחוקי החזקות בשני כיווני השוויון.

  • רקע

    פעולת החזקה היא אחת הפעולות הבסיסיות במתמטיקה, ולה שימושים רבים. למשל, בחקר של תופעות גדילה ודעיכה (לדוגמה, התפשטות מגפות), בכתיבה מדעית, בחישובי כדאיות וסיכוני השקעות, בהצפנה, במדידות (לדוגמה, רעידות אדמה, חומציות ובסיסיות) בפיתוח משחקי מחשב ועוד. העיסוק בחזקות במסגרת לימודי האלגברה מהווה בסיס ללימוד של נושאים כמו הפונקציה המעריכית וסדרות הנדסיות. בחטיבת הביניים עוסקים בבניית מושג החזקה והרחבתו למעריכים מסוגים שונים, ובחוקי החזקות היסודיים.

    חוקי החזקות, שהם זהויות מתמטיות, מאפשרים החלפה של ביטוי אחד בביטוי אחר זהה לו במהלך פתרון בעיה. למשל, על-ידי שימוש בחוקי החזקות ניתן להקטין בצורה משמעותית את מספר הפעולות שיש לעשות כדי לחשב חזקות עם מעריכים גדולים. לדוגמה, במקום לחשב את \(\displaystyle {{\text{5}}^{{\text{90}}}}\) על-ידי 89 פעולות כפל של 5 בעצמו, ניתן להשתמש בחוקי החזקה ולקבל את התוצאה בתשע פעולות כפל בלבד: חמש פעולות כפל כדי לחשב את \(\displaystyle {{\text{5}}^{\text{2}}}\), \(\displaystyle {{\text{5}}^{\text{4}}}\), \(\displaystyle {{\text{5}}^{\text{8}}}\), \(\displaystyle {{\text{5}}^{{\text{16}}}}\) ו-\(\displaystyle {{\text{5}}^{{\text{32}}}}\), וארבע פעולות כפל נוספות כדי להכפיל את חמש החזקות \(\displaystyle {{\text{5}}^{{\text{32}}}}\cdot {{\text{5}}^{{\text{32}}}}\cdot {{\text{5}}^{{\text{16}}}}\cdot {{\text{5}}^{\text{8}}}\cdot {{\text{5}}^{\text{2}}}\). בדרך זאת נקבל:

    \(\displaystyle {{\text{5}}^{{\text{90}}}}\text{= }{{\text{5}}^{{\text{64+16+8+2}}}}\text{= }{{\text{5}}^{{\text{64}}}}\cdot \,\ {{\text{5}}^{{\text{16}}}}\cdot \,\ {{\text{5}}^{\text{8}}}\cdot \,\ {{\text{5}}^{\text{2}}}\text{= }{{\text{5}}^{{\text{32}}}}\cdot \,\ {{\text{5}}^{{\text{32}}}}\cdot \,\ {{\text{5}}^{{\text{16}}}}\cdot \,\ {{\text{5}}^{\text{8}}}\cdot \,\ {{\text{5}}^{\text{2}}}\)

  • תלמידים נתקלים בקשיים שונים בהקשר של שימוש בחוקי חזקות. בתיק זה נתייחס לשני קשיים:
  • אי אבחנה בין הפעולה שבין חזקות לבין הפעולה שבין מעריכי החזקות. שגיאות אופייניות הן, למשל:

\(\displaystyle {{\text{2}}^{\text{3}}}\cdot {{\text{2}}^{\text{4}}}\text{= }{{\text{2}}^{\text{3}}}^{{\cdot \text{4}}}\)  ; \(\displaystyle \frac{{{{\text{3}}^{\text{6}}}}}{{{{\text{3}}^{\text{2}}}}}\text{=}{{\text{3}}^{{\frac{\text{6}}{\text{2}}}}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\)  ; \(\displaystyle {{\left( {{{\text{5}}^{\text{3}}}} \right)}^{\text{2}}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ = }{{\text{5}}^{{{{\text{3}}^{\text{2}}}}}}\)

קושי זה קשור לייחודיות של פעולת החזקה אשר בשונה מפעולות החיבור והכפל המוכרות לתלמידים, אינה מוגדרת בין כל שני מספרים ממשיים ואינה מקיימת תכונות בסיסיות, כמו חוק החילוף וחוק הקיבוץ.

  • קושי בפירוק חזקה נתונה וכתיבתה כמכפלה או כמנה של שתי חזקות או כהעלאה של חזקה בחזקה – לדוגמה, כאשר יש צורך לפרק את החזקה \(\displaystyle \text{1}{{\text{5}}^{\text{4}}}\) למכפלה של שתי חזקות במטרה לצמצם את השבר \(\frac{{1{{5}^{4}}}}{{{{3}^{3}}}}\).

התיק זהויות מתמטיות: חוקי החזקות נועד לסייע למורים לזהות תלמידים שיש להם קשיים אלה, ולתת להם מענה.