מרכז משאבים וירטואלי בהוראת המדעים והמתמטיקה

מטרת העבודה הייתה להציג יחידה מעניינת וחשובה בתורת האוטומטים, שחושפת מעט את 'מאחורי הקלעים' של שפות תכנות נפוצות. האפשרות ללמוד ולהיחשף להמצאה תיאורטית שיש לה יישום ישיר לחיינו- מחדדת את החשיבות שיש לתחום המתמטי בעיקר בעיני התלמידים שמרבים להתבדח במהלך התיכון שאף פעם לא נדרשו במכולת לשלם על ידי חישוב מודולרי. העבודה פותחת בסקירה היסטורית והגדרות של אוטומטים, שפות רגולריות וביטויים רגולריים. לאחר מכן מופיעים שני משפטים חשובים בתורת האוטומטים: המשפט הראשון עוסק בכח החישוב שיש לאוטומטים דטרמיניסטיים לעומת כח החישוב שיש לאוטומטים לא דטרמיניסטיים. המשפט השני עומד על כך כי אוטומטים סופיים שקולים לביטויים רגולריים, מה שכלל לא נראה מחייב במבט ראשון. ולסיום מצוינים יישומים במדעי המחשב של ביטויים רגולריים בפיתוח תוכנה.

בעבודה שלפנינו הכותבת ביקשה לבחון אינטואיציה מתמטית ומימושה בפתרונות ויזואליים. לפי הכותבת, אינטואיציה מתמטית נובעת מניסיון אישי שהצטבר עם השנים בחשיפה לסביבה שבה האדם חי ומניסיון שהצטבר תוך כדי לימודים ועבודה בנושאים מתמטיים שונים. מן השאלון שניתן בעבודה למורות נמצא כי הן לא משלבות די הוכחות ויזואליות בהוראה. לדעת הכותבת, המורים אינם רואים בהוכחה ויזואלית הוכחה תקֵפה לחלוטין וחושבים שהיא צריכה להיות מוצגת כהוכחה מחזקת ותומכת אך לא להחליף את ההוכחות המובנות הסטנדרטיות – הפורמליות. הכותבת מסכמת כי יש מקום לתת משקל רב יותר להשפעת הוכחות ויזואליות על הלמידה של תהליכי החשיבה המתמטית של התלמיד, ולכן יש לשלב אותן בהוראה שוטפת בכיתה.

מטרת העבודה שלפנינו היא לענות על השאלות: "מה הקשר בין הפונקציה הקדומה לשטח הכלוא מתחת לפונקציה?" ו"מהי משמעותו של הסימן dx בכתיבת האינטגרל?". בחלק הראשון של העבודה הכותבת תוכיח את משפט ניוטון-לייבניץ ותסביר את הקשר בין השטח הכלוא מתחת לפונקציה f לפונקציה הקדומה F. בחלק השני יוצגו מספר דוגמאות סיפוריות שיעזרו להבין את משמעות ותפקידו של הביטוי dx בכתיבת האינטגרל. הכותבת תגדיר את אינטגרל רימן סטילטייס שהוא הכללה של אינטגרל רימן ותבדוק מתי הוא מתקיים וכיצד יכול לעזור ולהקל את ההבנה במספר כללים מתמטיים מוכרים.

משחקים היו חלק מהחיים, גם בתקופות קדומות. המשחק Mark-t, שייך לסוג המשחקים הנקראים משחקים קומבינטורים. תחום זה שייך לענף במתמטיקה הנקרא קומבינטוריקה. המשחק Mark-t הוא משחק לא חלוק. משחק לא חלוק הוא משחק בו לכל אחד מהשחקנים יש את אותם מהלכים אפשריים. חוקי המשחק זהים לכל אחד מהשחקנים, אין מהלכים המתאימים לשחקן אחד ואינם מתאימים לשחקן השני. המשחק הזה נראה לכאורה פשוט, ללא חוקים מורכבים.הוא מבוסס על חוקיו של משחק Nim, שהניתוח המתמטי עבורו נראה סגור. השינוי הקטן בחוקי המשחק גורר שינוי כה גדול בתיאוריה המתמטית, ועדיין לא נמצא פתרון שלם למשחק זה.

נושא העבודה שלפנינו הינו מציאת החסם על מספר האפסים המשותפים בין פונקציות אלגבריות לבין פונקציות פאפיניות. חובנסקי פיתח תיאוריה חדשה הנקראת fewnomials, הרעיון הכללי מאחוריה הינו שלמערכת משוואות עם מבנה פשוט יש גם פתרונות עם מבנה פשוט. קיים קושי למצוא אפסים לפונקציות שאינן אלגבריות ולכן הרעיון של חובנסקי היה למצוא את כמות האפסים.

כל מה שנדרש כדי לשחק MARK, זו ערימה מכובדת של אבנים, וקצת ראש מתמטי. ויצירתיות שתוביל לגירסאות שונות של המשחק. המאמר הנוכחי מתאר מספר גירסאות של המשחק MARK, ובוחן את האסטרטגיות המומלצות לפעולה עבור שני המשתתפים במשחק. האסטרטגיות המוצעות הן בסופו של דבר פשוטות וקלות להבנה, אך הדרך למציאתן ארוכה ומפותלת, וכוללת עיסוק במגוון מפתיע של תחומים מתמטיים. הפרק הראשון של העבודה יוקדש לתיאור קצר של תחום המשחקים הקומבינטוריים ולהשלכות שלדעת הכותב יש לתחום זה על הוראת המתמטיקה. הפרק השני הינו לב העבודה, ובו נדונו אסטרטגיות הניצחון עבור ארבע גירסאות שונות של המשחק ובאסטרטגיה עבור גירסה מוכללת שלו. הפרק השלישי מסכם את העבודה.

העבודה עוסקת בהבהרת תכונת הקעירות של פונקציה, תוך שימוש במופע שלה בתחום הכלכלה. בפתח העבודה, סקירה היסטורית של התפתחות תחום "תורת הצרכן" בכלל, ומושג ה"תועלת" בפרט, פרי עבודתם של מתמטיקאים וכלכלנים החל מהמחצית השנייה של המאה ה-19. לאחר מכן, מוצגים ומוסברים מושגים ממדע הכלכלה, כמו יחסי ההעדפה של הצרכן, עקומות אדישות ומגבלת התקציב, המהווים תשתית להבנת פונקצית התועלת של הצרכן. פונקציה זו מהווה בעבודה את הבסיס להתעמקות המתמטית בנושא הקעירות. לעבודה זו נלווית פעילות-משימת היכרות המציגה את השילוב של עקומות האדישות עם מגבלת התקציב, ומלמדת על משמעות השיפוע.

העבודה עוסקת בהיכרות עם שיטת הקירובים הרציונאליים למספרים ממשיים ושימוש בשיטה זו להבנת תכונות של מספרים ממשיים באופן כללי, ותכונות מספרים אלגבריים ומספרים טרנסנדנטיים בפרט. הכותבת התמקדה במשפט ליובייל, העושה שימוש בשיטת הקירובים הרציונאליים כדי להוכיח קיומם של מספרים טרנסנדנטיים ונותן דרך לבנות מספרים כאלה.

הסתברות היא אחד התחומים היישימים ביותר במתמטיקה, והיא מהווה אבן יסוד במקצועות רבים כמו מדעים, כלכלה, סוציולוגיה ופסיכולוגיה. בעבודה זו הכותבת ערכה מחקר הבוחן תפיסות בהסתברות אצל מורים למתמטיקה הלומדים בתוכנית "רוטשילד ויצמן" במחלקה להוראת המדעים במכון ויצמן למדע, מתוך מטרה לבדוק, ע"י השוואת התפיסות ההסתברותיות השונות, האם קיימות נקודות דמיון ושוני בין מורים אשר למדו קורס ב"חשיבה הסתברותית" לבין מורים אשר טרם נחשפו לקורס זה וכן באיזו מידה. הכותבת התמקדה בעבודה בשני מושגים עיקריים: הסתברות מותנית וחוק בייס. בסיוע שני המושגים הנ"ל נעשה ניסיון לבחון כיצד מורים למתמטיקה ניגשים לסוגיות שבהן ההתרשמות הראשונית היא לעיתים שגויה והתשובה הנכונה אינה אינטואיטיבית. על בסיס הממצאים שהתקבלו במחקר וניתוח התוצאות הכותבת מציעה "מדריך למורה" המצורף כנספח לעבודה, אשר מוצגים בו הנחיות דידקטיות והמלצות להוראתן של דילמות לא שגרתיות בהסתברות.

לסימטריה שימושים רבים בתחומים שונים, כימיה, פיסיקה, אומנות, ארכיטקטורה וטכנולוגיה. בישראל, למרות השימושים הרבים של הסימטריה, נלמד הנושא אך ורק בבתי הספר היסודיים. כותבת העבודה רוצה להראות שניתן וחשוב ללמד את הנושא גם בחטיבות ביניים ובתיכונים. בעיות גיאומטריות מורכבות ניתנות להוכחה פשוטה יותר באמצעות סימטריה. תלמידים רבים מתקשים בגישה דדוקטיבית פורמאלית של הוכחות גיאומטריות, אלה יוכלו להסתייע בויזואליות הקיימת בסימטריה כדי להתמודד בקלות רבה יותר עם הוכחות גיאומטריות. המאמר המוצג בעבודה מחולק לשלושה חלקים: החלק הראשון מתמקד בחבורות הסימטריה של צורות הנדסיות במישור ובהוכחות של משפטים בגיאומטרית המישור הניתנות להוכחה בעזרת סימטריה. החלק השני מוקדש לקשר בין גרפים של פונקציות לבין סימטריה. בחלק השלישי מוצגות מספר שאלות מאולימפיאדה זוטא שניתן לפתור בעזרת סימטריה.